Дружні числа

УЗИ ДРУЖБИ У СВІТІ ЧИСЕЛ

Два натуральних числа m і n називаються дружніми, якщо сума власних дільників m дорівнює n, а сума власних дільників n дорівнює m.

Історія дружніх чисел губиться в глибині століть. За свідченням античного філософа Ямвлиха (III - IV ст.), Великий Піфагор на питання, кого слід вважати своїм другом, відповів: <<Того, хто є моїм другим я, як числа 220 і 284>>. Перевірте, будь ласка, що числа 220 і 284 дружні.

Для знаходження дружніх чисел арабський учений Сабіт Ібн Куррі (IX ст.) Запропонував хитромудрий спосіб: задавшись натуральним числом n, підрахувати спамогательние величини p = 3 * 2 n -1 - 1, q = 3 * 2 n -1 і r = 9 * 2 лютого n - 1 `-1. Якщо виявиться, що числа p, q, r прості, тоді числа А = 2 n p q і В = 2 nr дружні.

Пифагорова пара 220 і 284 виходять за цим методом при n = 2. Наступну пару чисел - 17 296 і 18 416 - виявили незалежно один від одного марокканський учений Ібн Аль - Банна і три століття потому француз П'єр Ферма. У цьому випадку n = 4. Третю пару - 9363584 та 9437056 (при n = 7) - вказав у 1638 р. Рене Декарт. Подальші спроби знайти дружні пари при не великих значеннях n до успіху не приводять. Більше того спосіб Сабіта ібн Куррі не виявляється жодної нової пари дружніх чисел, якщо n збільшувати до 20 000! Невже дружні числа - алмази-самородки і для підрахунку їх пар забагато пальців однієї руки?

У 1747-1750 рр.. Леонард Ейлер провів унікальні числові розкопки. Він придумав оригінальні методи пошуку і виявив відразу 61 нову пару дружніх чисел. Примітно, що серед них опинилися і не парні числа: 69 615 і 11498355; 87633 і 12024045. Зараз відомо близько 1100 пар дружніх чисел. Цікаво, що в 1866 р. італійський школяр Н. Паганіні (однофамілець відомого скрипаля) знайшов пару дружніх чисел 1184 і 1210, яку всі, в тому числі і видатне математики, прогледіли!

Ось пари дружніх чисел в межі 100 000:

220 - 284

1184 - 1210

2620 - 2924

5020 - 5564

6232 - 6368

10744 - 10856

12285 - 14595

17296 - 18416

63020 - 76084

66928 - 66992

67095 - 71145

69615 - 87633

79750 - 88730

Дружні числа продовжують приховувати безліч таємниць. Чи є змішані пари, у яких одне число парне, а інше не парне? Існує загальна формула, що описує всі дружні пари? На ці та інші питання відповіді поки не знайдені.

З досвіду обчислення люди знали, що кожне число є або простим, або добутком декількох простих чисел. Але вони не вміли цього доводити. Піфагор або хтось із його послідовників знайшов доказ цього твердження.

Тепер легко пояснити роль простих чисел в математиці: вони є тими цеглинками, з яких за допомогою множення будують всі інші числа. Добре було б, якщо всі прості числа можна було порахувати! Хай їх було б хоч мільйон - все одно ми знали б, що, перемноживши ці прості числа, можемо отримати всі інші. Але це виявилося не так. Через два століття після Піфагора грецький геометр Евклід написав книгу <<Начала>>. І одними з тверджень цієї книги було наступне: найбільшого простого числа не існує.

Прості числа в натуральному ряді чисел, розташовані дуже химерно. Іноді між ними є тільки одне парне число (всі прості числа, крім числа 2, непарні). Такими близнюками так їх кличуть у науці, є: 11 і 13, 17 і 19, 29 і 31. Досі не відомо, чи є найбільші близнюки чи ні. А іноді між сусідніми простими числами лежить прірва в мільйони і мільярди чисел. Першим глибокі результати про те, як розкидані прості числа серед інших натуральних чисел, отримав великий російський математик Пафнутій Львович Чебишев, засновник і керівник російських математичних досліджень в минулому столітті.